Division euclidienne et divisibilité

Corollaire

Soit $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ . Alors  $b$ divise $a$  si, et seulement si, le reste dans la division euclidienne de  $a$ par $b$  vaut $0$ .

Démonstration

On procède par double implication.

$[\Rightarrow ]$  Supposons que  $b$ divise $a$ . Il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kb$ .
On a donc : $a=kb+0$ avec \(0 \leqslant 0.
Par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne, l'écriture $a=kb+0$ correspond à la division euclidienne de  $a$ par $b$ , et donc le reste de cette division euclidienne vaut $0$ .

$[\Leftarrow ]$  Supposons que le reste dans la division euclidienne   de  $a$ par $b$  vaut $0$ .
Cette division euclidienne s'écrit alors  $a=bq$ avec $q\in \mathbb{Z}$ . Ainsi,  $b$ divise $a$ .